Incrementos diferenciales e interpretación geométrica

Sea f una funcion. Considerando y = f (x). En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x varia ligeramente y se necesita encontrar la variacion correspondiente de la variable dependiente y.

Si ∆x corresponde a x1-->x2

∆x = x2 - x1

x2 = x1 + ∆x

Analogamente ∆y corresponde a la variacion de la variable dependiente correspondiente al cambio ∆x.

∆y = f (x2) - f (x1) = f (x1 + ∆x) - f (x1)



Ejemplo:

y = 3x² - 5

Encontrar ∆y

Sea x=2 --- ∆x = 0.1
---------------------

∆y = f (x1 + ∆x) - f (x1) = [ 3 (2.1)² - 5 ] - [ 3 (2)² - 5 ]

∆y = 1.23











La notación de incrementos se puede usar en la definición de la derivada de una función, unicamente sustituimos ¨∆x¨ en lugar de ¨h¨ y considerar ¨x¨ como valor inicial de la variable independiente.

x valor inicial

∆y = f (x + ∆x) - f (x)

Sust. en f '(x)

En palabras se puede expresar; la derivada de f es el limite de la razon del incremento ∆y de la variable dependiente y, y el incremento ∆x de la variable independiente cuando este último tiende a ¨0¨.

Si x=x1 , en la gráfica ∆y/∆x es la pendiente de la recta secante que pasa por P-Q.

Si f es derivable entonces ∆y/∆x es aproximadamente igual a f '(x) si ∆x es aproximadamete ¨0¨.

Geometricamente esto significa que si ∆x esta cerca de ¨ 0¨ entoncesla pendiente ∆y/∆x de la secante esta cerca de la pendiente f '(x) de la ..

Esto significa que una función ¨y = f (x)¨ donde f es deribable y ∆x un incremento de x, entonces:


La diferencial ¨dy¨ de la variable dependiente ¨y¨ esta dada por;

dy = f '(x) ∆x

La diferencial ¨dx¨ de la variable independiente ¨x¨ esta dada po;

dx = ∆x -----entonces-------> dy = f '(x) dx




Ejemplo:

f '(x) = x∆