Tarea

9)











11)









13)








15)









17)








19)









21)








23)







25)






27)

Ejercicios

Formulario

Ejercicios (integrales trigonométricas)

1)






2)






3)









4)






5)










6)

Integrales Trigonométricas

Integrales trigonometricas

∫sen x dx = -cos x + C

∫cos x dx = sen x + C

∫sec²x dx = tan x + C

∫csc²x dx = -cot x + C

∫sec x tan x dx = sec x + C

∫csc x cot x dx = -csc x + C


Identidades Trigonometricas

sen x csc x = 1

cos x sec x = 1

tanx cot x = 1

tan x = sen x/cos x

cot x = cos x/sen x

sen²x + cos²x = 1

tan²x + 1 = sec2x

cot²x + 1= csc²x

Tarea

Definición de Integral y Método de Integración

La antiderivacion o antidiferenciacion es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de un funcion

donde f '(x) = f (x) y d(f (x)) = f (x) dx ----- ∫d (f (x)) = f (x) +c

Cuando se antideriva una función se obtiene la función mas una constante arbitraria. La antiderivación es una operación inversa a la diferenciación.

Teoremas

1) ∫dx = x + c

2) ∫a f (x) dx = a ∫f (x) dx

3) ∫[f (x) + g (x)] dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

4) ∫[C1 f1 (x) + C2 f2 (x) + ...... Cn fn (x)] dx = C1∫f1 (x) dx + ....... Cn∫fn (x) dx

5) ∫xⁿ dx = xⁿ+¹/n+1 + C


Ejemplos, para valores específicos de "n":



















otros ejemplos;

Ejercicios

Resolver la derivada de las siguientes funciones:

Teoremas típicos diferenciales

Diferenciacion de potencias

=

Siempre que x≠0.

Ejemplo:









Diferenciacion para el producto

=


Ejemplo:







Diferenciacion para el cociente

=

Siempre que h(x)≠0.

Ejemplo:

Incrementos diferenciales e interpretación geométrica

Sea f una funcion. Considerando y = f (x). En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x varia ligeramente y se necesita encontrar la variacion correspondiente de la variable dependiente y.

Si ∆x corresponde a x1-->x2

∆x = x2 - x1

x2 = x1 + ∆x

Analogamente ∆y corresponde a la variacion de la variable dependiente correspondiente al cambio ∆x.

∆y = f (x2) - f (x1) = f (x1 + ∆x) - f (x1)



Ejemplo:

y = 3x² - 5

Encontrar ∆y

Sea x=2 --- ∆x = 0.1
---------------------

∆y = f (x1 + ∆x) - f (x1) = [ 3 (2.1)² - 5 ] - [ 3 (2)² - 5 ]

∆y = 1.23











La notación de incrementos se puede usar en la definición de la derivada de una función, unicamente sustituimos ¨∆x¨ en lugar de ¨h¨ y considerar ¨x¨ como valor inicial de la variable independiente.

x valor inicial

∆y = f (x + ∆x) - f (x)

Sust. en f '(x)

En palabras se puede expresar; la derivada de f es el limite de la razon del incremento ∆y de la variable dependiente y, y el incremento ∆x de la variable independiente cuando este último tiende a ¨0¨.

Si x=x1 , en la gráfica ∆y/∆x es la pendiente de la recta secante que pasa por P-Q.

Si f es derivable entonces ∆y/∆x es aproximadamente igual a f '(x) si ∆x es aproximadamete ¨0¨.

Geometricamente esto significa que si ∆x esta cerca de ¨ 0¨ entoncesla pendiente ∆y/∆x de la secante esta cerca de la pendiente f '(x) de la ..

Esto significa que una función ¨y = f (x)¨ donde f es deribable y ∆x un incremento de x, entonces:


La diferencial ¨dy¨ de la variable dependiente ¨y¨ esta dada por;

dy = f '(x) ∆x

La diferencial ¨dx¨ de la variable independiente ¨x¨ esta dada po;

dx = ∆x -----entonces-------> dy = f '(x) dx




Ejemplo:

f '(x) = x∆

Diferencial (definición)

La derivada de una funcion f es aquella denotada por f '(x) tal que su valor es un numero x del dominio de f :



si el limite existe.



f '(x) es un subconjunto de f , al comparar estas 2 ecuaciones, la pendiente de la recta tangente en el punto (x1, f '(x)) es la derivada de la función en x1.


Ejemplo:



Si f es diferenciable en x (diferente que 0), entonces f es continua en x.